KAJIWARA Lab
Takeshi KAJIWARA
   梶原 健  Takeshi KAJIWARA
職   名:准教授
研究組織:大学院工学研究院
       知的構造の創生部門/電気電子と数理情報分野
教育組織:大学院工学府
       システム統合工学専攻/機械システム工学コース
学部組織:工学部生産工学科
担当講義:<大学院>応用代数学,応用代数学特論
       <学  部>数学演習,関数論

       <第二部>
専   門:代数幾何学
連絡先  : E-mail
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・今野研究室
● 研究テーマと概要 ●
主に,対数構造と呼ばれる可換半群の層を利用した代数多様体の退化や,これに関連して,トーリック幾何学やトロピカル幾何学について研究しています.これらの幾何学は,凸体の幾何学や組合せ論との関係も深く,この方面にも興味があります.

1.対数構造を用いた代数多様体の研究.
対数構造とは,代数多様体上の可換半群の層で適当な条件をみたすものをいいます.この付加構造と両立するように,代数多様体全体を捉え直すと,比較的よい特異点を持った多様体を,あたかも特異点を持たない多様体のように扱うことができるようになります.このような比較的よい特異点をもつ代数多様体は,特異点を持たない多様体の``そばにある''という考えから,様々なモジュライ空間のコンパクト化への応用を研究しています.

2.トーリック幾何学.
トーリック幾何学は,1970年代ごろ,トーラス埋め込みの理論として始まり,今日まで発展してきました.元来,代数多様体はいくつかの多項式の共通根として定義されますが,トーリック多様体は,大雑把にいうと,多項式のかわりに凸多面体(より正確には凸多面錐からなる扇)を使って定義される代数多様体です.凸多面体を使う分,トーリック多様体は代数多様体の中でも非常に特殊な多様体ですが,凸多面体の多様性の分だけ,たくさんの代数多様体を具体的に,凸多面体のイメージのもとに,構成することができます.トーリック多様体の性質(コンパクト性,特異性など)も凸多面体の様子からわかります.具体的な研究テーマとしては,トーリック多様体特有の座標系を用いた,代数多様体の記述や計算に興味を持っています.

3.トロピカル幾何学の研究.
トロピカル幾何学とは凸体の幾何の一種で,この幾何や代数系に早くから関わった研究者にちなんで,このような名前で呼ばれています.この幾何学では,代数多様体を簡素化して捉える見方があります.例えば,トロピカル平面曲線はすべていくつかの折れ線として捉えることができます.もともとの代数幾何との関係づけを明らかにすることができれば,従来の代数幾何の問題や定理を,このような簡素化した対象の問題(凸体に関係した問題)に帰着することができます.(しばしばどちらの問題も難しくて手がでないこともありますが.)ここ数年,特に代数幾何の定理と凸体の定理に興味を持って研究しています.

他にも,計算機代数的な観点(例えばグレブナー基底など)から見た,組合せ論的なアルゴリズムや,有限体上の代数幾何学の応用にも興味があり,学生といっしょに勉強しています.



● 主な公表論文 ●
1. T. Kajiwara, Logarithmic compactifications of the generalized Jacobian variety, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA, Math. 40(1993),473-502.

2. T. Kajiwara, The functor of a toric variety with enough invariant effective Cartier divisors, Tohoku Math. J. 50 (1998) 139--157.

3. T. Kajiwara and C. Nakayama, Weights of the $l$-adic cohomology of a proper toric variety, Communications in algebra 26(12) (1998) 4143--4147.

4. Jang-Ho Chun, T. Kajiwara, and Jong-Sook Lee, Isomorphism theorem on low dimensional Lie algebras,
Pacific Journal of Mathematics, 214 (2004), 17--21.

5. T. Kajiwara, Abelian surfaces in projective toric 4-folds , Archiv der Mathematik, 86 (2006), 43--49.
● 主な著書 ●
「代数曲線入門 --- はじめての代数幾何」,日評数学選書,日本評論社,2004年.

I study mainly the following three topics:
degeneration of algebraic varieties by using log
structures that are sheaves of commutative monoids on these varieties,
toric geometry, and tropical geometry.

1. Study on algebraic varieties with log structures. A log structure
on an algebraic variety is a certain sheaf of commutative monoids on
it. If one considers the category of algebraic varieties with such
structures, then some algebraic varieties only with at most mild
singularities would behave well as if they were nonsingular.
I am studying its application to compactification of various varieties.


2. Toric geometry. Toric geometry have been developing since
1970's. By definition, an algebraic variety is described in terms
of polynomials, while a toric variety, roughly speaking,
is defined by a convex polytope (or more precisely, a fan of rational
polyhedral cones). Although toric varieties are rational, they are as
various as convex polytopes, and moreover one can define such
varieties very concretely and imagine many properties via convex
polytopes. I am interested in study on subvarieties in toric varieties
by means of their homogeneous coordinate rings.

3. Tropical geometry. Tropical geometry is a kind of convex geometry,
which is applied to various fields in mathematics,
mathematical physics, and so on. Tropical
varieties consist of a finite number of convex polyhedrons, and have
combinatorial features. I am studying relationship between such
combinatorial nature and algebro-geometric one.

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